\[ \Delta(z)=q^{2}\prod_{m\geq 1}(1-q^{2m})^{24} = \sum_{m\geq 1}\tau(m)q^{2m} \] をラマヌジャンのデルタ関数とします． Lehmer 予想(1947)とは，「全ての正整数$m$で$\tau(m)\not=0$だろう」，という予想です．

ここで，$L$ を $E_{8}$ 格子とします．その時 $(L)_{2m}$（ノルムが2mの点の集合）は，球面 $7$-デザインになっている事が知られています． 更に，球面 $8$-デザインになる事と，$\tau(m)=0$ は同値である事が，Venkov によって示されました． つまり， Lehmer 予想は球面デザインの問題に言い換えられます．

本講演では， $\mathbb{Z}^{2}$ 格子を取り上げて， Lehmer 型の問題を考えます． そして，この場合には Lehmer 型の問題が証明できる，というお話をしたいと思います.

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