(微分可能多様体として) 連結和分解を許さない多様体を既約(irreducible)な多様体と言う. 一般に、与えられた多様体が既約かどうかを判定する事は、非常 に困難である. 多様体の既約性を調べる一つの動機は、多様体の分類にあると思 われる. ゲージ理論(Donaldson 理論、Seiberg-Witten 理論)の最近の発展によ りわずかではあるのだが、この問題に対して進展がみられている. 本講演では、現在十分な理解からは程遠い、 $4$次元多様体上の Einstein 計量の 存在、非存在問題の観点から Einstein $4$次元多様体の既約性問題を考察し、 その現状と最近の結果、展望などを報告したい.

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