$2$次元 Euclid 空間から球面への調和写像の時間発展の正則性を考える. 滑らかな初期値から出発しても, 解は有限時間で特異性をもつ (滑らかでなくなる, ある意味で爆発する)ことが知られている (正則性に対する反例). 本発表では, どのような条件のもとで, 弱解は大域的に滑らかになるかという弱解に対する正則性条件について考察する. この条件は, 空間 $3$次元非定常非圧縮 Navier-Stokes 方程式に対する Serrin の正則性条件に関係している. 証明のために平均振動に関する単調性公式を導出する.

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