３次元空間で静電場の方程式 \[

 \mathop{\mathrm{div}} u =0,\quad  \mathop{\mathrm{rot}} u =g\

\] を有界領域 $D$ で考え、境界 $\partial D$ で境界条件 $u\cdot n=\varphi$ をみたす問題は $\int\int \varphi dS = 0$ ならば、 一意的な解を持つ。 この問題は、一次元高い、同様の問題からの、射影として考えられることを示したい。 そしてその４次元の問題は４変数の独立変数で、４未知関数が一次偏微分方程式系を満たし、 適切な境界条件の下で解を求めることが出来る。 その方程式系を形を考察するために、また同時に解の表現を与えるために、４元数解析を援用する。 また $\int\int \varphi dS = 0$ に対応する条件を積分方程式の形で考察する。

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