$4$次元多様体が \((+ + - -)\) 指標の計量を許容する条件は，平面場の存在条件と同値である． 1958 年に Hirzebruch-Hopf によって平面場の存在条件が得られた． それに基づいて，この条件は $2$種類の概複素構造の存在条件と一致することが示された(1991)． これより，多くの興味ある結果が得られてきた． このような不定計量， 平面場，および２種類の概複素構造に関する最近の結果について報告をする． 1969年に Goldberg　は「コンパクト概エルミート多様体の計量がアインシュタイン， かつ概ケーラーならば概複素構造は可積分であろう，すなわちケーラーであろう」 という予想を提起した． いままで部分的に肯定的な結果が関川によってのみ得られている． このたび $8$次元トーラス上で反例となる不定計量による概エルミート構造を見つけたのでこれについても言及したい．

The existence of a neutral metric \((+ + - -)\) on a $4$-manifold is equivalent to the existence of a $2$-plane field on the $4$-manifold. The condition for a $4$-manifold to admit a $2$-plane field is a fundamental result of Hirzebruch and Hopf (1958). It is reported (1991) that a $4$-manifold with a $2$-plane field　admits two kinds of almost complex structures. On the basis of these existence conditions of a neutral metric, a $2$-plane field and two kinds of almost complex structures, we can exhibit various interesting results on $4$-manifolds. Moreover, we will report a counterexample to the Goldeberg conjecture (1969) on an $8$-dimensional torus, where the conjecture states that an almost Hermitian structure on a compact manifold is Kkhler if it is almost Kahler and the metric is Einstein.

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